bode 선도에서 극점의 특성 증명

전자공학

성난붱이 2024. 4. 26. 15:34

어떤 회로의 안정성을 확보하기 위해서 margin 설계를 한다.

보상기를 설계해서 원래 margin 보다 더 큰 margin을 얻어낸다.

이런 보상기를 설계할 때 bode선도에서 극점의 특성을 알고 있으면

bode 선도를 보면서 직관적으로 설계가 가능하다.

bode 선도로 보면 시스템에서 극점의 영향이 굉장히 직관적으로 드러나기 때문이다.

극점 $T(s) = \frac K {s + a}$의 bode 선도에서의 특성.

1. 기울기 감소 시점 관점 -> $x = log(a)$에서 기울기 감소 시작.

2. magnitude 기울기 관점 -> -20 dB/decade

3. phase 관점 -> $x = -\infty$ 혹은 $x = \frac a {10}$쯤 에서 0도, $x = a$에서 -45도, $x = \infty$ 혹은 $x = 10a$에서 -90도

원래 곡선: <$x$, $log \frac k {w^2 + a^2}$> = <$x$, $log(k) - log(w^2 + a^2)$>

점근 곡선: <$x$, $-2(x - log(a)) + log(k) - 2log(a)$)> = <$x$, $-2x + log(k)$> = <$x$, $log(k) - log(w^2)$>

$w$ -> $\infty$ -> $log(w^2 + a^2) - log(w^2)$ = $log(1 + \frac {a^2} {w^2})$ -> 0

따라서 점근선이 맞다.

(여기서 log는 상용로그), (연쇄 법칙 많이 사용), (어차피 k는 log scale에서 기울기에 영향이 없어서 제외)

$x = log(w)$

magnitude = $\frac 1 {w^2 + a^2}$

$\frac d {dx} (log \frac 1 {w^2 + a^2}) = \frac 1 {ln10} \cdot (- \frac 1 {w^2 + a^2}) \cdot \frac {dw^2} {dx}$

$\frac {dw^2} {dx} = 2w \frac {dw} {dx}$

$x = log(w)$ -> $\frac {dx} {dx} = \frac {dlog(w)} {dx} = 1 = \frac 1 w \frac 1 {ln10} \cdot \frac {dw} {dx}$

$\frac {dw} {dx} = wln10$

$\frac d {dx} (log \frac 1 {w^2 + a^2}) = - \frac {2w^2} {w^2 + a^2}$

$w -> \infty$: 기울기는 -2 -> dB단위로 바꾸면 -20dB/decade

$\frac 1 {(jw + a)} = \frac {a - jw} {a^2 + w^2}$ -> $\theta = arctan(-\frac w a)$

따라서

$x = -\infty$ 혹은 $x = \frac a {10}$쯤 에서 0도, $x = a$에서 -45도, $x = \infty$ 혹은 $x = 10a$에서 -90도