좌표계 회전 변환 행렬의 다양한 표현

 

 

 

 

다음은 일반적인 회전행렬의 표현이다.

$$R = \begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \end{pmatrix}$$

 

기저 벡터의 조합으로 다시 쓰면 다음과 같다.

$$R = \begin{pmatrix} \hat {e_1}^\prime \cdot \hat {e_1} & \hat {e_1}^\prime \cdot \hat {e_2} & \hat {e_1}^\prime \cdot \hat {e_3} \\ \hat {e_2}^\prime \cdot \hat {e_1} & \hat {e_2}^\prime \cdot \hat {e_2} & \hat {e_2}^\prime \cdot \hat {e_3} \\ \hat {e_3}^\prime \cdot \hat {e_1} & \hat {e_3}^\prime \cdot \hat {e_2} & \hat {e_3}^\prime \cdot \hat {e_3} \end{pmatrix}$$

 

기저 벡터의 조합이 다음과 같이 되는 이유는 다음의 두 식을 보면 명확해진다.

$$\begin{pmatrix} \hat {e_1}^\prime \cdot \hat {e_1} & \hat {e_1}^\prime \cdot \hat {e_2} & \hat {e_1}^\prime \cdot \hat {e_3} \\ \hat {e_2}^\prime \cdot \hat {e_1} & \hat {e_2}^\prime \cdot \hat {e_2} & \hat {e_2}^\prime \cdot \hat {e_3} \\ \hat {e_3}^\prime \cdot \hat {e_1} & \hat {e_3}^\prime \cdot \hat {e_2} & \hat {e_3}^\prime \cdot \hat {e_3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1^\prime \\ v_2^\prime \\ v_3^\prime \end{pmatrix}$$

$$v_1^\prime = \hat {e_1}^\prime \cdot (v_1 \hat {e_1} + v_2 \hat {e_2} + v_3 \hat {e_3})$$

 

또 다른 표현이 있는데, 미분 표현이다.

$$R_{\mu\nu} = \frac {\partial x_\nu} {\partial x^\prime_\mu}$$

이게 왜 성립하는 지 증명하겠다.

지금 부터 아인슈타인 표기법을 쓰겠다.

 

(연쇄법칙) $\frac {\partial \vec r} {\partial x_i} \cdot \frac {\partial x_i} {\partial x^\prime_\mu} = \frac {\partial \vec r} {\partial x^\prime_\mu}$

 

(기저 벡터의 정의) $\hat e_i \cdot \frac {\partial x_i} {\partial x^\prime_\mu} = \hat e^\prime_\mu$

 

($\hat e_\nu$를 곱해줌) $\hat e_\nu \cdot \hat e_i \cdot \frac {\partial x_i} {\partial x^\prime_\mu} = \hat e_\nu \cdot \hat e^\prime_\mu$

 

(크로네커 델타) $\frac {\partial x_\nu} {\partial x^\prime_\mu} = \hat e^\prime_\mu \cdot \hat e_\nu$

 

(결론) $R_{\mu\nu} = \frac {\partial x_\nu} {\partial x^\prime_\mu}$