행렬 대각화가 eigen state를 구하는 것과 동치인 이유

 

 

 

 

$s\in \{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}$

인 스핀 상태만을 생각해 보자.

결국 "eigen state를 구한다는 것"은 다음을 의미한다.

$S_x|sm⟩=\lambda |sm⟩$

이로 부터 1, 2를 유도할 수 있다.

 

1. $S_x|sm⟩=\left(\begin{array}{cc}|1⟩& |2⟩\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}⟨1|S_x|1⟩& ⟨1|S_x|2⟩\\ ⟨2|S_x|1⟩& ⟨2|S_x|2⟩\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}⟨1|sm⟩\\ ⟨2|sm⟩\end{array}\right)$

 

2. $\lambda |sm⟩=\left(\begin{array}{cc}|1⟩& |2⟩\end{array}\right)\lambda \left(\begin{array}{c}⟨1|sm⟩\\ ⟨2|sm⟩\end{array}\right)$

 

여기서 1, 2의 $\left(\begin{array}{cc}|1⟩& |2⟩\end{array}\right)$를 약분하면

$\left(\begin{array}{cc}⟨1|S_x|1⟩& ⟨1|S_x|2⟩\\ ⟨2|S_x|1⟩& ⟨2|S_x|2⟩\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}⟨1|sm⟩\\ ⟨2|sm⟩\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}⟨1|sm⟩\\ ⟨2|sm⟩\end{array}\right)$

 

즉 원래의 행렬 대각화 문제와 동일해진다.

 

여기서 추가적으로 우항의 열벡터가 상태를 나타낸다는 것을 알 수 있다.