-
항등식
$$\nabla \cdot (E \times H) = (\nabla \times E) \cdot H - (\nabla \times H) \cdot E$$
맥스웰 방정식 적용
$$\nabla \cdot (E \times H) = -\frac {\partial} {\partial t} \{\frac 1 2 B \cdot H\} - J \cdot E - \frac {\partial} {\partial t} \{{\frac 1 2 D \cdot E}\}$$
이항
$$\nabla \cdot (E \times H) + \frac {\partial} {\partial t} \{\frac 1 2 B \cdot H\} + J \cdot E + \frac {\partial} {\partial t} \{{\frac 1 2 D \cdot E}\} = 0$$
이 식이 전자기학의 에너지 보존 식. 전력에 대한 식임.
여기서 전자기파 항인
$$\nabla \cdot (E \times H)$$
와 체적 내 전기장 항인
$$\frac {\partial} {\partial t} \{{\frac 1 2 D \cdot E}\}$$
는 모터를 다룰 때 꽤 값이 작은 지 무시하는 듯.
로렌츠 힘에 의해 계 안의 전하가 소모하는 전력 즉
회로 내의 손실 + 모터에 들어가는 운동 에너지인
$$J \cdot E$$
와 자기장 에너지인
$$\{\frac 1 2 B \cdot H\}$$
만 남기면
$$\int \frac {\partial} {\partial t} \{{\frac 1 2} B \cdot H\} dV - L {\frac {\partial i} {\partial t}} \cdot i + \frac {\partial W_m} {\partial t} = 0$$ ... (1)
여기서 코일의 경우
$$N\phi = Li$$ phi는 코일 내 자속, N은 권선수, L은 인덕턴스, i는 코일에 흐르는 전류
$$\lambda = Li$$ lambda는 쇄교 자속
$$H = \frac B {\mu}_0$$
$$BS = \phi$$
S는 코일 단면적
$$V = Sl$$
l은 코일 통의 길이, V = 코일 내부 체적
등등을 고려하면
$$\int \frac {\partial} {\partial t} \{{\frac 1 2} B \cdot H\} dV$$
는 $$\frac {\partial} {\partial t} \{{\frac 1 2} L i^2\} + L{\frac {\partial i} {\partial t}} \cdot i$$ 로 되어 (1)에 대입 하면 $$\frac {\partial W_m} {\partial t} = {\frac 1 2} i ^ 2 {\frac {\partial L} {\partial t}}$$ ... (2)
식 (2)의 L은 모터 내의 각도 위상에 대한 함수로 나타낼 수 있으므로
$$\frac {dW_m} {dt} = {\frac 1 2} i ^ 2 {\frac {dL} {d\theta}} {\frac {d\theta} {dt}}$$
갑자기 편미분에서 그냥 미분 기호로 바뀐 이유는 유도 과정에서 이쯤 오니
theta, W_m, L 등이 다변수 함수가 아니게 됐기 때문.
이걸 시간에 대한 적분을 하면서 우항을 theta에 대한 치환적분하면
$$W_m = \int {\frac 1 2} i ^ 2 {\frac {dL} {d\theta}} d\theta$$
그리고 이걸 또 theta에 대해 미분하면
$$\tau_m = {\frac 1 2} i ^ 2 {\frac {dL} {d\theta}}$$
이 최종식을 이용해서 주변 자석이나 강자성체의 각도에 따라서 코일의 인덕턴스 (L)가 어떻게
변할지를 생각하여 힘의 방향 등을 알 수 있다.
Drone's DIYer :: 릴럭턴스 토크 (tistory.com) Drone's DIYer :: 릴럭턴스 토크 (tistory.com)이미지 참조
이런 상황에서 베어링에 고정된 자석이 왜 일렬로 정렬 되려고 하는 지 이해할 수 있다.