페이저 표현의 시평균 전력

 

 

 

 

RF책을 보다 보면

 

$V = \lvert V \rvert e ^ {j{\theta}_v}$, ${\theta}_v$ = (V의 위상)

$I = \lvert I \rvert e ^ {j{\theta}_i}$, ${\theta}_i$ = (I의 위상)

(보통 페이저 표현에서는 주파수가 하나로 고정 되어 있기 때문에 시간항은 생략하곤 한다.)

 

일 때 $Re\{{\frac 1 2} VI^\star\}$ 형태로 전력을 구하는 경우가 많다.

 

이렇게 구한 전력을 시평균 전력이라고 한다.

 

이게 그 이름에 맞게 시간 평균 전력을 나타내는 지를 알기 위해서는 다음을 확인하면 된다.

 

$$Re\{{\frac 1 2} VI^\star\} = {\frac w {2{\pi}}} \int_0^{\frac {2{\pi}} w} \lvert V \rvert cos(wt + {\theta}_v) * \lvert I \rvert cos(wt + {\theta}_i) dt$$ ... (1)

 

$cos(wt + {\theta}_v) cos(wt + {\theta}_i) = (cos(wt) cos({\theta}_v) - sin(wt) sin({\theta}_v)) * (cos(wt) cos({\theta}_i) - sin(wt) sin({\theta}_i))$

$= cos ^ 2 (wt) cos({\theta}_v) cos({\theta}_i) + sin ^ 2 (wt) sin({\theta}_v) sin({\theta}_i) - sin(wt) cos(wt) sin({\theta}_v) cos({\theta}_i) + sin(wt) cos(wt) cos({\theta}_v) sin({\theta}_i)$

 

여기에서 $cos ^ 2 (wt) = {\frac 1 2} (1 + cos (2wt))$에서 $cos(2wt)$ 시평균 적분시 0이 된다.

$sin ^ 2 (wt) = {\frac 1 2} (1 - cos(2wt))$의 cos(2wt)와

$2sin(wt) cos(wt) = sin(2wt)$ 항도 마찬가지이다.

 

이 모든 걸 고려하면 (1)이 성립함을 알 수 있다.