페이저 표현의 시평균 전력

 

 

 

 

RF책을 보다 보면

 

$V=|V|e^{j{\theta }_v}$, ${\theta }_v$ = (V의 위상)

$I=|I|e^{j{\theta }_i}$, ${\theta }_i$ = (I의 위상)

(보통 페이저 표현에서는 주파수가 하나로 고정 되어 있기 때문에 시간항은 생략하곤 한다.)

 

일 때 $Re\{\frac{1}{2}V{I}^{\star }\}$ 형태로 전력을 구하는 경우가 많다.

 

이렇게 구한 전력을 시평균 전력이라고 한다.

 

이게 그 이름에 맞게 시간 평균 전력을 나타내는 지를 알기 위해서는 다음을 확인하면 된다.

 

$$Re\{\frac{1}{2}V{I}^{\star }\}=\frac{w}{2\pi }{\int }_0^{\frac{2\pi }{w}}|V|cos(wt+{\theta }_v)\ast |I|cos(wt+{\theta }_i)dt$$ ... (1)

 

$cos(wt+{\theta }_v)cos(wt+{\theta }_i)=(cos(wt)cos({\theta }_v)-sin(wt)sin({\theta }_v))\ast (cos(wt)cos({\theta }_i)-sin(wt)sin({\theta }_i))$

$=co{s}^2(wt)cos({\theta }_v)cos({\theta }_i)+si{n}^2(wt)sin({\theta }_v)sin({\theta }_i)-sin(wt)cos(wt)sin({\theta }_v)cos({\theta }_i)+sin(wt)cos(wt)cos({\theta }_v)sin({\theta }_i)$

 

여기에서 $co{s}^2(wt)=\frac{1}{2}(1+cos(2wt))$에서 $cos(2wt)$ 시평균 적분시 0이 된다.

$si{n}^2(wt)=\frac{1}{2}(1-cos(2wt))$의 cos(2wt)와

$2sin(wt)cos(wt)=sin(2wt)$ 항도 마찬가지이다.

 

이 모든 걸 고려하면 (1)이 성립함을 알 수 있다.