gain margin, phase margin 제대로 알고 사용하자.

 

 

 

 

gain margin과 phase margin은 시스템이 얼마나 안정한가 즉 상대 안정도를 판정하는 도구이다.

current mode buck converter를 설계할 때 분명 bode선도에 그려지기로는 margin 설계를 잘 했는 데 시스템의 안정성이 확보되지 않았던 경험이 있다.

결론 부터 이야기 하자면 시스템의 openloop이득의 극점의 위치, nyquist 선도, bode 선도를 같이 봐야 margin 설계가 제대로 됐는 지 확인할 수 있는 가능성이 생긴다.

 

nyquist 선도

nyquist 선도 이론에 대한 공부가 선행되지 않았다면 웹서핑을 하거나 nise의 제어시스템공학 같은 책을 사서 공부하고 오기 바란다.

 

안정성을 판별하는 주제에서 nyquist선도를 통해 우리가 최종적으로 궁금한 것은 복소평면 우반평면에 $\frac G {1 + GH}$의 극점이 있느냐 없느냐이다.

 

 

정의

$C$ = <직선경로: $-j\infty$ $\rightarrow$ $j\infty$> + <반원경로: $j\infty$에서 $-j\infty$로 가는 우반평면에 있는 반지름 $\infty$짜리 반원 경로> = 폐루프 곡선 경로

open loop 이득 = $G(s) \cdot H(s) = GH$

closed loop 이득 = $\frac G {1 + GH}$

 

 

필수 숙지

$1 + GH$의 영점은 $\frac G {1 + GH}$의 극점과 같다. ($G \cdot H = \frac {N_G} {D_G} \cdot \frac {N_H} {D_H}$로 두고 식을 전개해 보면 알 수 있다.)

$1 + GH$의 극점은 $GH$의 극점과 같다. (이것도 직접 전개해 보면 알 수 있다.)

 

 

논리 전개

$N$ = $C$를 $1 + GH$로 사상시킨 폐루프 곡선이 반시계 방향($C$는 시계방향이었음에 주의 하자)으로 원점을 둘러싼 횟수 = $C$를 $GH$로 사상시킨 폐루프 곡선이 반시계 방향으로 $-1 + j0$을 둘러싼 횟수

 

$P$ = 우반평면 상의 $1 + GH$의 극점의 개수 = 우반평면 상의 $GH$의 극점의 개수

**이건 GH의 식을 통해 쉽게 알 수 있다. 이 때 $G$에 상수 $K$를 곱해서(gain을 조정) GH를 $KGH$로 만든다고 해도 극점이 움직이지 않음에 주목하자. $1 + GH$의 영점의 경우에는 G에 K를 곱하면 영점이 자꾸 움직인다. 직관적으로 움직이지도 않는다. $1 + GH$의 영점은 $\frac G {1 + GH}$의 극점이기 때문에 아쉬울 따름이다. 이런 배경에서 $K$에 따른 폐루프 전달함수의 극점의 거동 대신 margin을 통해서 상대 안정도를 측정하려고 하는 것이다.**

 

$Z$ = 우반평면 상의 $1 + GH$의 영점의 개수 = 우반평면 상의 $\frac G {1 + GH}$의 극점의 개수

 

따라서 위의 $N$, $P$, $Z$의 각각의 등식에서 두 번째 식 ($1 + GH$ 거론)을 보면 $N = P - Z$ and  $Z = P - N$

 

$P$는 쉽게 구할 수 있으므로 $N$에 따라서 $Z$가 정해지고 그에 따라서 안정한지가 정해질 것이다.

 

$N$은 위의 등식의 3 번째 식 즉 " $C$를 $GH$로 사상시킨 폐루프 곡선이 반시계 방향으로 $-1 + j0$을 둘러싼 횟수"을 통해 구할 수 있다.

 

 

관심사 축소

$P$ = 0일 때는 $N$ = 0이 돼야하기 때문에 nyquist선도가 다음 그림과 같은 꼴일 때에 한해서

https://beckho.tistory.com/70 에서 참조

그리고 GH의 분모 차수가 분자 차수 보다 높을 때에 한해서

선도가 $-1 + j0$를 포함하지 않을 때 안정적임을 알 수 있고 따라서 일상적으로 사용하는 bode 선도의 gain margin과 phase margin

즉 불안정 까지 남은 거리가 상대 안정도의 의미를 가짐을 알 수 있다.

$C$전체를 보지 않아도 됨에 주목하자. 어차피 nyquist선도는 대칭일 것이기 때문에 직선경로는 0 ~ $j\infty$만 생각하면 되고 무한 반원 경로에서 GH는 0이기 때문에 (분모 차수가 분자 차수 보다 높음) 0 ~ $j\infty$ 범위만을 생각하면 된다!

이 범위는 bode 선도에서 다루는 범위다!

 

따라서 나는 이런 경우에만 사용할 생각이다.

(만약 좀 더 범용적인 case에서 사용해도 되는 이유가 있다면 제발 댓글에 남겨주세요. 정말 궁금합니다.)

지금 까지 글에 따르면 시스템이 이런 경우인지를 확인하려면 처음 말했듯이,

GH의 극점의 위치, nyquist 선도, bode 선도를 같이 봐야함을 알 수 있다.

 

 

margin이 상대 안정도의 의미를 갖는 지 확신 못 하겠는 대표적인 예

$P$가 0이 아닌 경우.