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  • 좌표계 회전 변환 행렬의 다양한 표현
    카테고리 없음 2024. 10. 4. 00:40

     

     

     

     

    다음은 일반적인 회전행렬의 표현이다.

    R=(e11e12e13e21e22e23e31e32e33)

     

    기저 벡터의 조합으로 다시 쓰면 다음과 같다.

    R=(e1^′⋅e1^e1^′⋅e2^e1^′⋅e3^e2^′⋅e1^e2^′⋅e2^e2^′⋅e3^e3^′⋅e1^e3^′⋅e2^e3^′⋅e3^)

     

    기저 벡터의 조합이 다음과 같이 되는 이유는 다음의 두 식을 보면 명확해진다.

    (e1^′⋅e1^e1^′⋅e2^e1^′⋅e3^e2^′⋅e1^e2^′⋅e2^e2^′⋅e3^e3^′⋅e1^e3^′⋅e2^e3^′⋅e3^)⋅(v1v2v3)=(v1′v2′v3′)

    v1′=e1^′⋅(v1e1^+v2e2^+v3e3^)

     

    또 다른 표현이 있는데, 미분 표현이다.

    Rμν=∂xν∂xμ′

    이게 왜 성립하는 지 증명하겠다.

    지금 부터 아인슈타인 표기법을 쓰겠다.

     

    (연쇄법칙) ∂r→∂xi⋅∂xi∂xμ′=∂r→∂xμ′

     

    (기저 벡터의 정의) e^i⋅∂xi∂xμ′=e^μ′

     

    (e^ν를 곱해줌) e^ν⋅e^i⋅∂xi∂xμ′=e^ν⋅e^μ′

     

    (크로네커 델타) ∂xν∂xμ′=e^μ′⋅e^ν

     

    (결론) Rμν=∂xν∂xμ′

     

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