curvilinear coordinate = 곡선 직교 좌표계들의 연산

 

 

 

 

곡선 직교 좌표계란 좌표축들이 곡선인데, 서로 직교하는 좌표계를 말한다.

대표적으로 구좌표계, 원통좌표계, 카테시안 좌표계 등이 있다.

 

아인슈타인 표기법을 쓰겠다.

$\overrightarrow{r}={(\overrightarrow{r})}_i\widehat{e_i}$ 이 표현이 이해가 안간다면 아인슈타인 표기법을 꼭 공부하고 오길 바란다.

 

$\overrightarrow{r}$을 위치 벡터, 좌표계의 $q_i$를 i번째 좌표값이라고 하자.

$$d\overrightarrow{r}=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}d{q}_i$$

$$(d\overrightarrow{r}{)}^2=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_j}d{q}_{i}d{q}_j$$

(곡선 직교 좌표계 보다 일반적인 좌표계에서 통하는 계량텐서($g_{ij}$)의 정의) $(d\overrightarrow{r}{)}^2=g_{ij}d{q}_{i}d{q}_j$

곡선 직교 좌표계를 다루고 있으므로 $i\ne j$일 때 $\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_j}=0$이므로

$(d\overrightarrow{r}{)}^2=(h_{i}d{q}_i{)}^2$, $h_i^2=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}$

$(d\overrightarrow{r}{)}_i=h_{i}d{q}_i$ or $\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}=h_i{\hat{e}}_i$

$$d\overrightarrow{r}=h_{i}d{q}_i{\hat{e}}_i$$

 

이쯤에서 $d\overrightarrow{r}$이나 $d{q}_i$ 같은 표현에 대해 짚고 넘어가겠다.

원래는 이런 표현은 미적분학에서는 없다.

어떤 매개변수가 올 지 모를 때 그냥 편하게 매개변수를 생략하는 표현이라고 보면 된다.

즉 $\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$일지 $\frac{d\overrightarrow{r}}{d\tau }$일지 모르지만 어차피 뭐가 오던 식의 표현은 안 바뀔테니
그냥 $d\overrightarrow{r}$로 쓴다.

나중에 필요할 때 매개변수를 새우고 (예를 들면 t) $\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$로 치환하면 되지. 이런 느낌이다.

 

이제 이 지식을 가지고 여러 가지 연산들에 대해 생각해보자.

 

선적분

$${\int }_C\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{r}={\int }_C(V_i\widehat{e_i})\cdot (h_{j}d{q}_j{\hat{e}}_j)={\int }_C{V}_i{h}_{i}d{q}_i$$

 

면적분

면적분의 가우스-스토크스 정리에 따라서 일반적인 면적소는 좌표축으로 이루어진 면적소 3개의 합에 의한 작용과 동일하므로

$${\int }_S\overrightarrow{V}\cdot d\overrightarrow{\sigma }={\int }_S{V}_1{h}_2{h}_{3}d{q}_{2}d{q}_3+{\int }_S{V}_2{h}_3{h}_{1}d{q}_{3}d{q}_1+{\int }_S{V}_3{h}_1{h}_{2}d{q}_{1}d{q}_2$$

 

그레디언트

그레디언트는 방향미분이라는 정의에 맞게 방향을 곱했을 때 그레디언트를 취해줬던 스칼라 값의 변화량이 나와야한다.

$$(\mathrm{\nabla }\varphi )\cdot d\overrightarrow{r}=d\varphi$$

만약 $\mathrm{\nabla }\varphi =\frac{1}{h_i}\frac{\partial \varphi }{\partial q_1}\widehat{e_i}$이라면

$(\mathrm{\nabla }\varphi )\cdot d\overrightarrow{r}=(\frac{1}{h_i}\frac{\partial \varphi }{\partial q_i}\widehat{e_i})(\cdot h_{j}d{q}_j{\hat{e}}_j)=d\varphi$

따라서

$$\mathrm{\nabla }\varphi =\frac{1}{h_i}\frac{\partial \varphi }{\partial q_1}\widehat{e_i}$$

 

체적분, 다이버전스, 라플라시안, 컬 등도 합리적인 정의의 일반화와 그에 대한 수학적 표현을 적용하므로써 구해질 수 있다.