curvilinear coordinate = 곡선 직교 좌표계들의 연산

 

 

 

 

곡선 직교 좌표계란 좌표축들이 곡선인데, 서로 직교하는 좌표계를 말한다.

대표적으로 구좌표계, 원통좌표계, 카테시안 좌표계 등이 있다.

 

아인슈타인 표기법을 쓰겠다.

$\vec r = {(\vec r)}_i \hat {e_i}$ 이 표현이 이해가 안간다면 아인슈타인 표기법을 꼭 공부하고 오길 바란다.

 

$\vec r$을 위치 벡터, 좌표계의 $q_i$를 i번째 좌표값이라고 하자.

$$d\vec r = \frac {\partial \vec r} {\partial q_i} dq_i$$

$$(d\vec r)^2 = \frac {\partial \vec r} {\partial q_i} \cdot \frac {\partial \vec r} {\partial q_j} dq_i dq_j$$

(곡선 직교 좌표계 보다 일반적인 좌표계에서 통하는 계량텐서($g_{ij}$)의 정의) $(d\vec r)^2 = g_{ij} dq_i dq_j$

곡선 직교 좌표계를 다루고 있으므로 $i \neq j$일 때 $\frac {\partial \vec r} {\partial q_i} \cdot \frac {\partial \vec r} {\partial q_j} = 0$이므로

$(d\vec r)^2 = (h_i dq_i)^2$, $h_i^2 = \frac {\partial \vec r} {\partial q_i} \cdot \frac {\partial \vec r} {\partial q_i}$

$(d\vec r)_i = h_i dq_i$ or $\frac {\partial \vec r} {\partial q_i} = h_i {\hat e}_i$

$$d\vec r = h_i dq_i {\hat e}_i$$

 

이쯤에서 $d\vec r$이나 $dq_i$ 같은 표현에 대해 짚고 넘어가겠다.

원래는 이런 표현은 미적분학에서는 없다.

어떤 매개변수가 올 지 모를 때 그냥 편하게 매개변수를 생략하는 표현이라고 보면 된다.

즉 $\frac {d\vec r} {dt}$일지 $\frac {d\vec r} {d\tau}$일지 모르지만 어차피 뭐가 오던 식의 표현은 안 바뀔테니
그냥 $d\vec r$로 쓴다.

나중에 필요할 때 매개변수를 새우고 (예를 들면 t) $\frac {d\vec r} {dt}$로 치환하면 되지. 이런 느낌이다.

 

이제 이 지식을 가지고 여러 가지 연산들에 대해 생각해보자.

 

선적분

$$\int_C \vec V \cdot d\vec r = \int_C (V_i \hat {e_i}) \cdot (h_j dq_j {\hat e}_j) = \int_C V_i h_i dq_i$$

 

면적분

면적분의 가우스-스토크스 정리에 따라서 일반적인 면적소는 좌표축으로 이루어진 면적소 3개의 합에 의한 작용과 동일하므로

$$\int_S \vec V \cdot d\vec \sigma = \int_S V_1 h_2 h_3 dq_2 dq_3 + \int_S V_2 h_3 h_1 dq_3 dq_1 + \int_S V_3 h_1 h_2 dq_1 dq_2$$

 

그레디언트

그레디언트는 방향미분이라는 정의에 맞게 방향을 곱했을 때 그레디언트를 취해줬던 스칼라 값의 변화량이 나와야한다.

$$(\nabla \phi) \cdot d\vec r = d\phi$$

만약 $\nabla \phi = \frac 1 {h_i} \frac {\partial \phi} {\partial q_1} \hat {e_i}$이라면

$(\nabla \phi) \cdot d\vec r = (\frac 1 {h_i} \frac {\partial \phi} {\partial q_i} \hat {e_i}) (\cdot h_j dq_j {\hat e}_j) = d\phi$

따라서

$$\nabla \phi = \frac 1 {h_i} \frac {\partial \phi} {\partial q_1} \hat {e_i}$$

 

체적분, 다이버전스, 라플라시안, 컬 등도 합리적인 정의의 일반화와 그에 대한 수학적 표현을 적용하므로써 구해질 수 있다.