이상적인 트렌스를 사용한 등가회로

 

 

 

 

실제 트렌스, 그림1

그림2

 

물론 그림1의 트렌스도 철손과 leakage inductance가 빠졌기에 어느 정도 이상적인 트렌스이지만,

진짜 이상적인 트렌스는 권선비가 $N_1:N_2$이고 인덕턴스 (1차측 자체, 2차측 자체, 뮤츄얼) 모두 무한대(물론 그것들의 비는 $N_1:N_2:\sqrt{N_1{N}_2}$이겠지만)인 트렌스를 말한다.

그림2의 트렌스가 이상적인 트렌스라고 할 때, 그림1과 그림2는 등가회로라고 하는 데, 왜 그런지 알아보겠다.

 

$V_1=\frac{d{\lambda }_1}{dt}$ 여기서 ${\lambda }_1$은 1차측 코일에 작용하는 쇄교 자속을 의미한다.

이 자속은 두 독립변수의 함수로 표현할 수 있다. ${\lambda }_1={\lambda }_1(i_{in},i_2)$.

자기장은 전류와 동치이고 여기서 자기장을 만드는 전류 소스는 $i_{in}$과 $i_2$ 밖에 없으니 당연한 얘기이다.

 

이제 연쇄법칙을 사용하여, $V_1=\frac{\partial \lambda 1}{\partial i_{in}}\frac{d{i}_{in}}{dt}+\frac{\partial \lambda 1}{\partial i_2}\frac{d{i}_2}{dt}$

$\frac{\partial \lambda 1}{\partial i_{in}}=L_1$이고 $\frac{\partial \lambda 1}{\partial i_2}=-M$ 이므로

$V_1=L_1\frac{d{i}_{in}}{dt}-M\frac{d{i}_2}{dt}$

(M 앞에 $-$가 붙은 것이 불편하다면 트렌스의 dot convention에 대해 알아보고, 전류들의 방향과 전압들의 방향, 자속들의 방향을 잘 생각해 보자)

비슷한 원리로 $V_2=L_2\frac{d{i}_2}{dt}+M\frac{d{i}_1}{dt}$이다.

 

 

이제 그림2를 해석해 보자.

$i_m^{\prime }=i_{in}^{\prime }-i_1^{\prime }$ -> $V_1^{\prime }=L_1\frac{d{i}_m}{dt}=L_1\frac{d{i}_{in}^{\prime }}{dt}-L_1\frac{d{i}_1^{\prime }}{dt}$ 이상적인 트렌스 이므로 $i_1^{\prime }:i_2^{\prime }=N_2:N_1$ -> $i_1^{\prime }=\frac{N_2}{N_1}{i}_2^{\prime }$ 그리고 $L_1\frac{N_2}{N_1}=M$ 이므로

$V_1^{\prime }=L_1\frac{d{i}_{in}^{\prime }}{dt}-M\frac{d{i}_2^{\prime }}{dt}$

 

이거 완전 $V_1$이랑 똑같은 형태이다.

 

$V_2=L_2\frac{i_2}{dt}+M\frac{d{i}_1}{dt}$ 이고, 이상적인 트렌스의 전압비가 $V_1:V_2=N_1:N_2$라는 것을 이용하면 이쪽도 같은 형태가 나오는 것을 알 수 있다.

 

즉 실제 트렌스의 1차측 인덕턴스를 갖는 인덕터를 이상적인 트렌스 1차측에 병렬로 연결하고, $L_2=L_1(\frac{N_2}{N_1}{)}^2$이 되도록 $N_1:N_2$를 설정하면 두 4단자 회로는 완벽하게 동치이다.

 

이런 등가회로는 시뮬레이션 툴에서 유용하다. 만약  시뮬레이션 툴이 좀 심플해서 $L_1$, $L_2$을 입력하는 트렌스가 지원되지 않고 이상적인 트렌스만 지원한다면 다음과 같이 등가회로를 만들어서 간단하게 시뮬레이션해 볼 수 있다.

그러면 $M$이 $\sqrt{L_1{L}_2}$가 아닌 경우 (1차측의 자속이 모조리 2차측으로 다 갈 거라는 보장은 없으니까.)는 어떻게 등가회로로 나타낼까? 글쌔다... 본인도 좀 생각을 해봐야 겠다.

 

이 글에서 상황에 대한 설명이 부실했지만 알잘딱알 하자. 예를 들면, 철손이 있냐 없냐, leakage 인덕턴스가 있냐 없냐.

 

 

** 추가 질문 **

다음과 같은 질문에도 답해보자.

 

왜 이상적인 트렌스의 전압비와 전류비가 위에서 기술한 것과 같이 될까?

이상적인 트렌스의 인덕턴스는 무한대라고 했는데 어떻게 전류가 흐를까? (전류가 조금이라도 흐르면 전압이 무한대가 되는 거 아닌가?)