전기장의 좌표계 변환

 

 

 

 

$\nabla \times E = - \frac {\partial B} {\partial t}$가 페러데이 법칙의 미분형 표현이라면 적분형 표현은 다음과 같다.

$\int_{S(t)} (\nabla \times E) \cdot dS = \int_{S(t)} (-\frac {\partial B} {\partial t}) \cdot dS$

이 것은 원본 좌표계에서의 전자기학이다.

잠깐 다음과 같은 식을 생각해보자.

$\frac {\partial} {\partial t} \int_{S(t)} B \cdot dS = \int_{S(t)} \frac {\partial B} {\partial t} \cdot dS + \frac \partial {\partial t} \int_{S(t)} B(t_0) \cdot dS$ and $t_0 = t$

좌변을 연쇄법칙으로 미분한 것이다. B만 t에 대한 함수가 아니라 S도 t에 대한 함수일 수 있기 때문이다.

이때 $\frac {\partial} {\partial t} \int_{S(t)} B(t_0) \cdot dS = \oint_{S(t)} B \cdot (v \times dl) = - \oint_{S(t)} (v \times B) \cdot dl = - \int_{S(t)} \nabla \times (v \times B) \cdot dS$ 여기서 $v$는 루프의 미소 성분 $dl$이 움직이는 속도이다.

따라서 $\int_{S(t)} (\nabla \times E) \cdot dS = -\frac {\partial} {\partial t} \int_{S(t)} B \cdot dS - \int_{S(t)} \nabla \times (v \times B) \cdot dS$

$\int_{S(t)} \{\nabla \times (E + v \times B)\} \cdot dS = -\frac {\partial} {\partial t} \int_{S(t)} B \cdot dS = - \frac {\partial \lambda} {\partial t}$ 여기서 $\lambda$는 그 루프를 통과하는 자속이다.

여기서 루프를 고정 크기의 아주 작은 루프 (미분형으로 바꾸기 위해)라고 가정하고,

그 루프가 시간에 따라 변하지 않도록 좌표계를 설정하고 그걸 $\prime$(프라임) 좌표계라고 하자.

그러면 다음이 성립한다.

$-\frac {\partial} {\partial t} \int_{S} B \cdot dS = - \int_{S} \frac {\partial B} {\partial t} \cdot dS = \int_S (\nabla \times E^\prime) \cdot dS = \int_{S(t)} \{\nabla \times (E + v \times B)\} \cdot dS$

여기서 어차피 루프의 크기만 줄이면 적분형이 미분형과 동일하므로,

$E^\prime = E + v \times B$가 성립함을 알 수 있다.