전기장의 좌표계 변환

 

 

 

 

$\mathrm{\nabla }\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}$가 페러데이 법칙의 미분형 표현이라면 적분형 표현은 다음과 같다.

${\int }_{S(t)}(\mathrm{\nabla }\times E)\cdot dS={\int }_{S(t)}(-\frac{\partial B}{\partial t})\cdot dS$

이 것은 원본 좌표계에서의 전자기학이다.

잠깐 다음과 같은 식을 생각해보자.

$\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{S(t)}B\cdot dS={\int }_{S(t)}\frac{\partial B}{\partial t}\cdot dS+\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{S(t)}B(t_0)\cdot dS$ and $t_0=t$

좌변을 연쇄법칙으로 미분한 것이다. B만 t에 대한 함수가 아니라 S도 t에 대한 함수일 수 있기 때문이다.

이때 $\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{S(t)}B(t_0)\cdot dS={\oint }_{S(t)}B\cdot (v\times dl)=-{\oint }_{S(t)}(v\times B)\cdot dl=-{\int }_{S(t)}\mathrm{\nabla }\times (v\times B)\cdot dS$ 여기서 $v$는 루프의 미소 성분 $dl$이 움직이는 속도이다.

따라서 ${\int }_{S(t)}(\mathrm{\nabla }\times E)\cdot dS=-\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{S(t)}B\cdot dS-{\int }_{S(t)}\mathrm{\nabla }\times (v\times B)\cdot dS$

${\int }_{S(t)}\{\mathrm{\nabla }\times (E+v\times B)\}\cdot dS=-\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{S(t)}B\cdot dS=-\frac{\partial \lambda }{\partial t}$ 여기서 $\lambda$는 그 루프를 통과하는 자속이다.

여기서 루프를 고정 크기의 아주 작은 루프 (미분형으로 바꾸기 위해)라고 가정하고,

그 루프가 시간에 따라 변하지 않도록 좌표계를 설정하고 그걸 $\prime$(프라임) 좌표계라고 하자.

그러면 다음이 성립한다.

$-\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{S}B\cdot dS=-{\int }_S\frac{\partial B}{\partial t}\cdot dS={\int }_S(\mathrm{\nabla }\times E^{\prime })\cdot dS={\int }_{S(t)}\{\mathrm{\nabla }\times (E+v\times B)\}\cdot dS$

여기서 어차피 루프의 크기만 줄이면 적분형이 미분형과 동일하므로,

$E^{\prime }=E+v\times B$가 성립함을 알 수 있다.