행렬 대각화가 eigen state를 구하는 것과 동치인 이유

 

 

 

 

$s \in \{- \frac 1 2, \frac 1 2\}$

인 스핀 상태만을 생각해 보자.

결국 "eigen state를 구한다는 것"은 다음을 의미한다.

$S_x \ket {sm} = \lambda \ket {sm}$

이로 부터 1, 2를 유도할 수 있다.

 

1. $S_x \ket {sm} = \begin {pmatrix} \ket 1 & \ket 2 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \bra 1 S_x \ket 1 & \bra 1 S_x \ket 2 \\ \bra 2 S_x \ket 1 & \bra 2 S_x \ket 2 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \braket {1 | {sm}} \\ \braket {2 | {sm}} \end {pmatrix}$

 

2. $\lambda \ket {sm} = \begin {pmatrix} \ket 1 & \ket 2 \end {pmatrix} \lambda \begin {pmatrix} \braket {1 | {sm}} \\ \braket {2 | {sm}} \end {pmatrix}$

 

여기서 1, 2의 $\begin {pmatrix} \ket 1 & \ket 2 \end {pmatrix}$를 약분하면

$\begin {pmatrix} \bra 1 S_x \ket 1 & \bra 1 S_x \ket 2 \\ \bra 2 S_x \ket 1 & \bra 2 S_x \ket 2 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \braket {1 | {sm}} \\ \braket {2 | {sm}} \end {pmatrix} = \lambda \begin {pmatrix} \braket {1 | {sm}} \\ \braket {2 | {sm}} \end {pmatrix}$

 

즉 원래의 행렬 대각화 문제와 동일해진다.

 

여기서 추가적으로 우항의 열벡터가 상태를 나타낸다는 것을 알 수 있다.