bode 선도에서 극점의 특성 증명

 

 

 

 

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어떤 회로의 안정성을 확보하기 위해서 margin 설계를 한다.

보상기를 설계해서 원래 margin 보다 더 큰 margin을 얻어낸다.

이런 보상기를 설계할 때 bode선도에서 극점의 특성을 알고 있으면

bode 선도를 보면서 직관적으로 설계가 가능하다.

bode 선도로 보면 시스템에서 극점의 영향이 굉장히 직관적으로 드러나기 때문이다.

 

극점 $T(s)=\frac{K}{s+a}$의 bode 선도에서의 특성.

 

1. 기울기 감소 시점 관점 -> $x=log(a)$에서 기울기 감소 시작.

 

2. magnitude 기울기 관점 -> -20 dB/decade

 

3. phase 관점 -> $x=-\mathrm{\infty }$ 혹은 $x=\frac{a}{10}$쯤 에서 0도, $x=a$에서 -45도, $x=\mathrm{\infty }$ 혹은 $x=10a$에서 -90도

 

 

[magnitude 기울기 감소 시점 증명]

 

원래 곡선: <$x$, $log\frac{k}{w^2+a^2}$> = <$x$, $log(k)-log(w^2+a^2)$>

 

점근 곡선: <$x$, $-2(x-log(a))+log(k)-2log(a)$)> = <$x$, $-2x+log(k)$> = <$x$, $log(k)-log(w^2)$>

 

$w$ -> $\mathrm{\infty }$ -> $log(w^2+a^2)-log(w^2)$ = $log(1+\frac{a^2}{w^2})$ -> 0

 

따라서 점근선이 맞다.

 

 

[magnitude 기울기 관점]

(여기서 log는 상용로그), (연쇄 법칙 많이 사용), (어차피 k는 log scale에서 기울기에 영향이 없어서 제외)

 

 

$x=log(w)$

 

magnitude = $\frac{1}{w^2+a^2}$

 

$\frac{d}{dx}(log\frac{1}{w^2+a^2})=\frac{1}{ln10}\cdot (-\frac{1}{w^2+a^2})\cdot \frac{d{w}^2}{dx}$

 

$\frac{d{w}^2}{dx}=2w\frac{dw}{dx}$

 

$x=log(w)$ -> $\frac{dx}{dx}=\frac{dlog(w)}{dx}=1=\frac{1}{w}\frac{1}{ln10}\cdot \frac{dw}{dx}$

 

$\frac{dw}{dx}=wln10$

 

$\frac{d}{dx}(log\frac{1}{w^2+a^2})=-\frac{2w^2}{w^2+a^2}$

 

$w->\mathrm{\infty }$: 기울기는 -2 -> dB단위로 바꾸면 -20dB/decade

 

 

[phase 관점]

 

$\frac{1}{(jw+a)}=\frac{a-jw}{a^2+w^2}$ -> $\theta =arctan(-\frac{w}{a})$

 

따라서

 

$x=-\mathrm{\infty }$ 혹은 $x=\frac{a}{10}$쯤 에서 0도, $x=a$에서 -45도, $x=\mathrm{\infty }$ 혹은 $x=10a$에서 -90도