인덕터 제대로 알고 쓰자.

 

 

 

 

문제의 시작

$$V_L = L \frac {\partial {i_L}} {\partial {t}}$$

이 식은 인덕터의 가장 기본적인 식이다.

그런데 생각해 보면 이상하다.

인덕터는 저항이 존재하지 않는데 어떻게 $V_L$이 존재하는 것 일까?

$V_L$이 0이 아님으로써 $P = V_L \cdot i_L$에 의해 전력도 소모하게 될텐데, 저항은 없다?

 

 

전압의 정체

이 식의 진정한 의미를 알려면 맥스웰 방정식에서 출발해야 한다.

 

$$\nabla \cdot D = \rho$$

$$\nabla \times E = - \frac {\partial B} {\partial t}$$

$$\nabla \times H = J + \frac {\partial D} {\partial t}$$

$$\nabla \cdot B = 0$$

(이건 원본 맥스웰 방식이다. 지금 부터 3번식의 $\frac {\partial D} {\partial t}$는 무시하도록 한다. 즉 정자기학)

 

이제 코일이 포함된 폐루프 회로에 의해 감싸진 면을 생각해 보자.

그리고 그 면을 영역으로 2번 식을 플럭스 적분해 본다.

$$\int_S (\nabla \times E) \cdot dS = \int_S ( - \frac {\partial B} {\partial t} ) \cdot dS$$

$$\oint_L E \cdot dL = -\frac {\partial \phi} {\partial t}$$

 

이제 다음과 같은 초록색 영역을 생각해 보자.

그리고 그 면을 영역으로 3번 식을 플럭스 적분해 본다.

$$\int_S (\nabla \times H) \cdot dS = \int_S J \cdot dS$$

$$\oint_L H \cdot dL = N \cdot i$$

$$H \cdot l = N \cdot i$$

$$H = \frac {N \cdot i} l$$

$$B = \frac {N \cdot i \cdot \mu} {l}$$

(자기장과 전류가 비례)

$$\phi = 쇄교자속 = B \cdot N \cdot A = i \cdot \frac {\mu \cdot N^2 \cdot A} {l}$$

 

이제 $\phi$를 $-\frac {\partial \phi} {\partial t}$에 대입

$$\oint_L E \cdot dL = -L \frac {di} {dt}$$

 

아마 회로 하시는 분들은 키로히호프의 전압 법칙 때문에 $\oint_L E \cdot dL = 0$으로 착각하셨을 수 있다.

하지만 위에서 본 봐와 같이 정자기학 (정전기학이 아닐 경우) $V_{loop} \neq \oint_L E \cdot dL$이다.

 

그러면 $V_L = L \frac {di} {dt}$는 무슨 뜻일까?

 

이 타이밍에 회로이론이라는 플렛폼에서 인덕터를 지원하기 위한 전압의 정의에 대한 확장 들어가시겠다.

 

$$\oint_L E \cdot dL + L \frac {di} {dt} = 0$$

 

이렇게 하면 인덕터가 전압을 갖는다고 생각함으로써 키로히호프의 전압 법칙을 만족하게 할 수 있다.

 

 

그러면 전력은?

그런데 이상하다. 전압은 억지로 저렇게 정의한다고 쳐도, 그러면 전력에 대한 정의가 헝클어지지 않을까?

왜냐하면 회로이론에서 소자가 사용하는 전력은 $P = V \cdot i$이기 때문이다.

인덕터의 경우에는 저항이 거의 0이라 내부에 전기장이 없어서 에너지 소모가 0일 텐데?

 

방금 새롭게 생긴 인덕터의 전압에 대한 정의를 가지고 그대로 $P = V \cdot i$에 넣어 보자.

$$P = i \cdot \frac {di} {dt} = \frac {d} {dt} \{\frac 1 2 i^2\}$$

아까 자기장과 전류가 비례한다고 했던 거 기억하시는가?

자기장과 전류는 동치이다. 같은 현상을 나타내는 두 개의 다른 표현이라는 뜻이다.

따라서 i -> B로 변환을 잘 해보면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$P = \frac {d} {dt} \{\frac 1 2 i^2\} = \frac {d} {dt} \{\frac 1 2 B \cdot H\}$$

참고로 $\frac 1 2 B \cdot H$는 자기장 포텐셜 에너지이다.

 

그러니까 한 마디로, 인덕터에서는 전하에 의한 전력 소모는 없지만 $V \cdot i$만큼의 전력이 매 순간 자기장 포텐셜 에너지 높이는데 쓰인다는 뜻이다.

 

이와 비슷한 방식으로 커페시터의 $P = V \cdot i$도 설명할 수 있다.

 

 

근거?

말은 그럴듯 한데, 자기장 포텐셜 에너지의 정체를 못 믿겠다고 생각할 수도 있다.

그래서 나무위키에 잘 정리 돼 있는 맥스웰 방정식에 의해 도출된 보존에 관련된 정리 하나를 소개하고자 한다.

포인팅 정리이다. 이건 전자기학의 에너지 보존 법칙이다.

$$J \cdot E + \nabla \cdot (E \times H) + \frac {\partial} {\partial t} \{\frac 1 2 B \cdot H\} + \frac {\partial} {\partial t} \{\frac 1 2 E \cdot D\} = 0$$

체적에 대한 중적분 해보면 의미가 더 명확해 진다.

https://namu.wiki/w/%ED%8F%AC%EC%9D%B8%ED%8C%85%20%EB%B2%A1%ED%84%B0

포인팅 벡터

간단하게만 설명하자면 $J \cdot E$가 우리가 흔히 아는 전하에 의한 일, 즉 저항에서의 전력 소모나 모터의 기계적 일률.

$\nabla \cdot (E \times H)$가 전자기파가 체적을 빠져나가면서 생기는 항.

$\frac {\partial} {\partial t} \{\frac 1 2 B \cdot H\}$가 자기장 포텐셜 에너지로 쌓이는 항.

$\frac {\partial} {\partial t} \{\frac 1 2 E \cdot D\}$가 커페시터나 전원에 의해 전기장 포텐셜 에너지로 쌓이는 항.

정도가 되겠다.

 

 

이런 거 왜 알아야 함?

그리고 본인이 엔지니어인데 이런 근본 원리의 수학적 기술의 합리성을 느끼고 싶다면 다음과 같은 내용들을 공부해볼 것을 추천한다.

 

1. 트랜스포머

트랜스라고도 부른다.

이걸로 교류 변압기를 만든다.

플라이백 컨버터라고 dc-dc 컨버터도 만든다.

SMPS가 대부분 플라이백 토폴로지를 사용한 dc-dc 컨버터이다.

 

이 글의 내용과 맥스웰 방정식과 포인팅 정리를 알고 있으면,

트랜스포머가 어떻게 1차측에서 2차측으로 에너지를 전달하는 지, 깔끔하게 이해할 수 있다.

 

플라이백 컨버터에 대해서는 추후의 글에서 따로 정리해볼 예정이다. (https~~)

 

2. 모다 (motor)

모다가 어떻게 힘을 내는 줄 아시는가?

https://akswnd98.tistory.com/14

모터 토크 분석