Steve ward의 DRSSTC 1차 측 회로 해석

 

 

 

 

 

 

 

내가 이 DRSSTC 회로를 처음 접한 지 족히 6년은 된 거 같다.
이 회로의 1차 측 회로 해석에 성공하기 까지 6년 걸렸다...

(낭만 지렸노)

시간이 많은 것들을 해결해 주는 것 같다.

 

이 회로는 언뜻 보면 정공법을 따르지 않고 야매로 설계된 거 같다.

하지만 고전압을 다뤄야 하는 DRSSTC 컨트롤러 특성상 꽤나 합리적으로 설계되었다는 것을 알게 될 것이다.

 

 

너무 복잡해 보인다!

맞다! 이 회로는 다양한 과전압, 과전류 보호회로, 변조기, zero cross switching 등을 위한 회로들로 떡칠 되어 있어서

언뜻 보기에 해석하려면 6년이 걸릴 거 같다.

하지만 이미 6년 걸려 해석한 사람이 1차측 코일의 전압 펌핑 부분만 추려 놓은 간략화 된 회로가 있다.

 

간략화(?)된 PSIM 회로도

 

이제 각 부분을 뜯어 보도록 하자.

 

 

피드백 시스템인가?

언뜻 보기에 CT(Current Transformer, 1:33)를 통해 전류를 센싱해서 그 전류를 LC 양단에 걸어주는 피드백 시스템인 거 같다.

따라서 루프 이득을 구해서 안정도 체크를 해보면 이 회로가 부족 감쇄 발진한다는 것을 밝혀낼 수 있을 거 같다.

그런데 직접 해 보면 알겠지만, 상대 안정도, 극점 검사 등등을 해보면, 결과는 이 회로가 임계 안정 시스템이라고 한다.

우리가 원하는 건 이 회로의 진폭이 계속 커져야 한다.

그리고 실제 이 회로의 발진 파형은 다음과 같다.

 

위의 회로의 시뮬레이션 결과

 

부족 감쇄도 아니고 임계 안정도 아니다.

시간에 따라 선형적으로 진폭이 커지는 (ㅈㄹ 맞은) 시스템이다.

 

 

시간 영역 분석

그래서 스위칭 시점을 기준으로 구간을 나눠 시간 영역 분석을 진행하기로 했다.

즉 구간을 나누고, 각 구간의 마지막 신호값(전압, 전류)들을 다음 구간의 초기값으로 설정하여 미분방정식을 이어 푸는 방식으로 분석을 해봤다. (구간 별로 미방을 푸니까 구간이 n개면 미방 n개 풀어야 됨.)

그리고 엄청나게 중요한 가정을 했다.

H브릿지에 넣어주는 on-off 센서 정보는 L, C에 흐르는 전류와 위상이 동일하다. 즉 L, C 전류의 zero crossing을 센싱해서 H브릿지를 on-off 해준다. (뒤에서 왜 CT(transformer) + zener 양방향 전압 클램프 회로가 이런 센싱을 수행할 수 있는 지 설명하겠다.)

 

그림으로 설명하자면 빨간색이 전류 신호 일 때, 초록색이 H브릿지 on-off 신호이다.

 

일단 LC 쪽 미분방정식을 먼저 세워 보자.

$i = C \frac {dV_c} {dt}$, $V_i = L \frac {di} {dt} + V_c = LC \frac {d^2V_c} {dt^2} + V_c$

여기서 $V_i$는 i번째 구간에서의 양단 전압 (dc) = $\pm340$이고 $V_c$는 C에 걸리는 전압이다.

이 미분 방정식을 풀면

$$V_c = \{V_c(0) - V_i\} cos(\frac 1 {\sqrt {LC}}) + V_i$$

의 일반해가 나온다.

$V_c(0)$ = $V_c$의 초기값이다.

또한 전류를 센싱하기 때문에 $i$가 중요한데 (스위칭 방향 때문에 $i$의 부호가 중요)

$$i = C \frac {dV_c} {dt} = \sqrt \frac C L \{V_i - V_c(0)\} sin(\frac 1 {\sqrt {LC}}t)$$

 

일단 구간을 다음과 같이 나누겠다. (근거는 당연히 $i$의 부호가 바뀌는 시점)

구간 0 | $t = 0 \sim \sqrt {LC}\pi$

구간 1 | $t = \sqrt {LC}\pi \sim 2\sqrt {LC}\pi$

...

 

그리고 $V$는 양단 전압의 크기 즉 340이다.

 

구간 0

$V_c(0) = 0$

$V_i = V$

위의 일반해에 대입

$\rightarrow$

$V_c = -V cos(\frac 1 {\sqrt {LC}} t) + V$

$i = \sqrt \frac C L V sin(\frac 1 {\sqrt {LC}} t)$

$V_c(0)_{next} = V_c(\sqrt {LC} \pi) = 2V$

 

구간 1

($t$는 다시 0부터 시작하는 것에 유의)

$V_c(0) = 2V$

$V_i = -V$

위의 일반해에 대입

$\rightarrow$

$V_c = 3V cos(\frac 1 {\sqrt {LC}} t) - V$

$i = \sqrt \frac C L \cdot -3V sin(\frac 1 {\sqrt {LC}} t)$

($i$가 $0 \sim \sqrt {LC} \pi$에서 음수인가? $\rightarrow$ ㅇㅇ $\rightarrow$ $V_i = -V$가 정당)

$V_c(0)_{next} = V_C(\sqrt {LC} \pi) = -4V$

 

구간 2

$V_c(0) = -4V$

$V_i = V$

$\rightarrow$

$V_c = -5V cos(\frac 1 {\sqrt {LC}} t) + V$

($i$(전류)규칙은 명확하니 이제 생략)

$V_c(0)_{next} = 6V$

 

...

 

이런식이다.

시간에 따라 진폭이 계속 증가한다!

 

 

1차측 전류를 위상이 동일하게 센싱하는 원리

위에서 아주 중요한 가정을 했다.

H브릿지에 넣어주는 on-off 센서 정보는 L, C에 흐르는 전류와 위상이 동일하다.

과연 이 가정이 사실일까?

 

이를 위해 변압기 이론에 대해 잘 알아야 한다.

1차측 전류를 센싱하려고 하는 것인 만큼

1차측 전류, 3차측 전류를 포함한 미분방정식을 세울 수 있는 수준의 이해가 필요하다.

(https://akswnd98.tistory.com/66 참고)

이상적인 트렌스를 사용한 등가회로

 

zener가 일반 다이오드 영역에서 동작할 때 (case 1)

3차측 트랜스 오른쪽의 회로를 저항 R로 생각하면 (물론 zener 클램프 회로는 저항이 아니지만 그냥 근사적으로 그렇다 치자.)

 

$$(L_2 + \frac {L_1L_2} {L_2 - L_1})\frac {di_3} {dt} + R i_3 = \frac {L_1 L_2} {L_2 - L_1} \frac {di_1} {dt}$$

여기서 $L_1$:$L_2$ = 대략 1:33이다. 따라서 근사적으로 나타낼 수 있다.

이를 전달함수로 나타내면

 

$$\frac {i_3} {i_1} = \frac {L_1s} {L_2s + R}$$

즉

$$센싱 전압 = \frac {RL_1s} {L_2s + R} \cdot i_1$$

$s \rightarrow jw$를 대입해서 위상 이동을 관찰해 보자

R이 매우 크다면 (일반 다이오드 동작) $i_3 \approx 0$이고 센싱전압은 $i_1$에 비해 위상이 90도 앞선다.

 

zener가 항복 영역에서 동작할 때 (case 2)

제너 다이오드가 항복 영역에서 동작하고 있을 때는 전압은 $\pm 5$(제너 항복 전압)이다.

즉 R 대신 5V짜리 전압을 넣어주면 된다.

$$L_3 \frac {di_3} {dt} + 5 = L_1 \frac {di_1} {dt}$$

여기서 $i_1$의 첫 주기 진폭의 스케일이 수백 A(대락 340A) 수준이므로 (340V 정현파에서 15.3uH와 0.45uF짜리 직렬 LC 공진, 주파수는 60Khz)

$$i_3 = 340 \cdot \frac {L_1} {L_3} sin(wt) - \frac 5 {L_3} t \approx 10 sin(wt) - \frac 5 {L_3} t$$

근데 보통 $t$의 범위가 $0 \sim \frac 1 {2 \pi w} \cdot \frac 1 2 = 1.32us$

선형항의 최대 값은 $\frac 5 {L_3} \cdot 1.32us = \frac {6.6u} {L_3}$

$L_3 = 33uH$라고 할 때 0.2 밖에 안된다.

이것은 정현파 스윙 10에 비하면 너무 작아서 무시해도 되기 때문에

$$L_3 \frac {di_3} {dt} = L_1 \frac {di_1} {dt}$$

즉 $i_3$와 $i_1$은 동상이다.

(물론 $L_3$가 너무 작거나 $i_1$ 스케일이 너무 작다면 이야기는 달라진다. 실제로 시뮬레이션 해보면 위상이 틀어져 진폭이 커지는 속도가 느려짐을 볼 수 있다.)

 

case를 나눠서 $i_3$와 $i_1$의 위상 관계에 대해 알아봤다.

이제 case 1에서 모순을 찾아 보자.

제로 크로싱 지점에서 90도 앞선 지점은 피크 지점이다.

그런데 이 지점에서 제너가 일반 다이오드 동작을 한다고 했으므로 $i_3$는 매우 작다고 했다.

ㅇ? 매우 작은데 $i_1$의 피크값을 갖는다고? 이는 모순이다.

따라서 이런 제너가 일반 다이오드 동작을 하는 구간은 없거나 매우 짧을 것이다.

이는 제너가 항상 항복영역에서 동작하는 것을 의미하고 $i_3$는 구형파의 모습을 띄게 될 것이다.

(제너의 항복전압은 5V 정도 되므로 5V 스윙 구형파)

 

$i_3$가 0에 가까워지면 진행 방향으로 더 가속시키는 힘(?) 같은 게 있기 때문에 구형파인 건 알겠다.

하지만 구형파의 주파수는 아직 확답할 수 없다.

만약 $i_3$가 $i_1$보다 주파수가 높다고 가정해 보자.

그러면 $i_1$ 반 주기 동안 $i_3$는 여러 번 0근처를 지날 것이다.

그런데 그럴 일은 없다.

$i_1$이 제로크로스 하는 상황이 아닌 평상시에는 $i_3$와 $i_1$의 위상이 같기 때문에

$i_1$이 +라면 $i_3$가 +인 것이 보장되기 때문이다.

$i_1$이 +인데 $i_3$ 혼자 -쪽으로 이동하여 제로 크로스 하는 경우는 없다는 것이다.

 

사담: 사실 이것도 완벽한 설명은 아니지만 난 이쯤에서 하산하기로 했다.

이런 센싱 방식은 신선한 충격이었다.

션트 저항을 쓰지 않기 때문에 전력소모가 매우 적다.

비교기에 대한 과전압 보호도 저절로 된다. (zenor 항복 전압 이상으론 안 올라갈 테니)

제로 크로싱을 센싱할 때 제너 다이오드를 통한 양방향 클램프 회로를 사용하는 것이 매우 좋은 선택이 될 수 있음을 알게 됐다.

이걸 만든 steve ward는 도대체 뭐하는 사람일까?

그냥 대중적인 topology를 갖다 쓴건가?

할튼 난 이런 기법을 배워본 적이 없다.

 

후.. 이제 2차측 포함해서 해석해야 되는데,

도대체 dual resonant가 뭔 지 이해가 안 간다...