Peak Current Mode Buck converter의 sample and hold 모델링

Peak Current Mode Buck converter의 모델링 기법에는 여러가지가 있지만 가장 기본적으로 두 가지가 있다.

 

1. averaged model
2. sample and hold model

 

그 중에서 조금 더 정밀하다고 알려져 있는 모델이 sample and hold model 이다.

만약 이걸 모른다면 당신이 바보처럼 느껴질 수 있습니다

 

1. Laplace Transform
2. Z Transform

3. sample and hold

 

본문

 

핵심은 항상 첫장에...
"Discrete 신호의 Z변환"과 그에 대응되는 "Continuous 신호의 임펄스열 셈플링의 Laplace변환"이 어떤 관계를 갖는가?

 

이것이 왜 핵심일까?

PWM 신호로 제어하는 Switching Regulator의 특성상 정밀성을 더하기 위해 average 기법을 쓰지 않는다면 우리가 다뤄야하는 정보는 이산적인 정보이다.

알다시피 Laplace변환은 연속시스템을 위한 방법론이다.

하지만 Laplace변환을 이산시스템을 기술하는 데에 사용할 수 있다면? 그 방법은 어떤 방법일까? 궁금하지 않는가?

에 대한 답이 바로 average model 보다 current mode buck converter를 더 정확히 기술하는 방법일 것이기 때문이다.

 

 

일단 아는 내용 부터 시작해보자

Laplace Transform side 아는 내용

$x(t)$ = 연속 신호

$x_s$ = 셈플링된 신호

$T_s$ = 셈플링 주기

$p(t) = \sum_{n=0}^{\infty}{\delta (t - nT_s)}$ = 임펄스열

$x_s(t) = x(t)p(t)$ = 임펄스열 셈플링된 $x$

$X_s(s) = {\mathcal L}\{x_s(t)\} = \sum_{n=0}^{\infty} x(nT_s)e^{-n{T_s}s}$

 

Z Transform side 아는 내용

$x[n]$ = 이산 신호

$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n]z^{-n}$

 

 

그렇다! 연속신호를 임펄스열 셈플링한 다음 Laplace변환한 것과 이산신호를 Z변환한 것은 형태적으로 매우 유사하다.

$$z \rightarrow e^{{T_s}s}$$

이 과정만 해주면 이산신호의 Z변환이 "그 이산신호에 대응되는 어떤 연속신호가 임펄스열 셈플링된 신호"의 Laplace 변환이 된다.

 

그런데 뭔가 이상하다. 우리가 구한 것은 어디까지나 "임펄스열 셈플링된 신호 형태"의 Laplace 변환이라 연속 시스템과 어떻게 자연스럽게 연결지을 수 있을 지 떠오르지가 않는다.

 

$X_s(s) = {\mathcal L}\{x_s(t)\} = \sum_{n=0}^{\infty} x(n{T_s})e^{-n{T_s}s}$ 이거 말고 $X_s(s)$를 기술하는 다른 식이 있다. (이런 라플라스 변환이 왜 그렇게 되는 지는 신호 및 시스템 이나 통신이론 교제의 셈플링 파트를 찾아보자).

셈플링 정리의 근간이 되는 그 식은 바로

$$X_s(s) = {\mathcal L}\{x_s(t)\} = {\frac 1 T_s} \sum_{n=0}^{\infty} X(s - {\frac {jn2{\pi}} {T_s}})$$

(푸리에 변환 도메인 즉 f 도메인의 식을 라플라스 변환 도메인 즉 s 도메인의 식으로 옮겼다).

 

셈플링 정리에서와 비슷하게 buck converter 모델은 스위칭 주파수 보다 고주파인 대역에서의 응답에 관심이 없다! 따라서

$$X_s(s) \approx {\frac 1 T_s}X(s)$$

 

이제 zero order hold에 대해 알아봐야 한다.

 

zero order hold

출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Sample_and_hold#/media/File:Zeroorderhold.signal.svg

 

zero order hold function의 전달함수는 다음과 같다.

$${\frac {1 - e^{-{T_s}s}} s}$$

 

$G_{di}$를 생각해 보자

$G_{di}(s) = {\frac {{\hat {i_L}}[z]} {{\hat d}[z]}} \cdot {\frac {1 - e^{-{T_s}s}} {{T_s}s}} \, when \, z \rightarrow e^{-{T_s}s}$

 

$\hat {i_L}$과 $\hat d$는 이산신호이다. 따라서 전달함수는 원래 z domain에 존재하는데 어째서 s domain의 전달함수가 나왔다. 저 전달함수에 대해 구체적으로 설명하자면,

 

$G_{di}$에 처음 들어가는 신호는 연속신호이다. 그리고 다음과 같이 거쳐서 $\hat {i_L}$이 튀어나온다.

 

sample $\rightarrow$ G_{di}[z] (z domain 전달함수)의 s 도메인 버전 $\rightarrow$ hold

 

여기서 sample은 아까 본 바와 같이 $\frac 1 {T_s}$ 이고 hold는 ${\frac {1 - e^{-{T_s}s}} s}$라 ${\frac {1 - e^{-{T_s}s}} {{T_s}s}}$ 가 붙은 것이다.

 

이제 내부에 차분방정식으로 묘사되는 이산 시스템과 연속 시스템 둘다 공존하는 시스템을 연속 시스템으로 묘사할 수 있게 되었다!

 

물론 보통 셈플링 주파수의 절반 주파수 보다 낮은 대역에 대해서 근사적으로 올바른 모델이라고 볼 수 있다.

하지만 buck converter에서 셈플링 주파수의 고조파의 진폭은 ripple 진폭에 비례하는데 매우매우 작기 때문에 무시할 수 있다.

 

(솔직히 averaged model 보다 얼마나 더 정밀한지 잘 모르겠다.

그런데 가끔 buck converter ic의 datasheet에 sample and hold model로 시스템이 기술되어 있어서 어쩔 수 없이 공부했다...)

 

 

전체 시스템

texas instrument slvae09b.pdf 문서 3 page

 

최종적으로 위와 같은 시스템이 될 것이다.

$G_{EA}(s)$는 compensator 파트, $G_{div}(s) = \frac {\hat {V_{ref}}} {\hat {V_o}} = 상수$

아직 모르는 파트인 $\frac {\hat {V_{comp}}} {\hat {i_L}}$를 구해야 한다.

상식적으로 duty비와 전류의 관계는 이산적인 관계일 것이다. duty비가 이산적인 값이기 때문이다.

따라서 지금 까지 공부했던, z-transform $\rightarrow$ s-transform 방법론을 사용하여 s-transform을 구해보도록 하자.

 

 

차분 방정식

그 z-transform이 필요하고 z-transform을 도출하려면 차분 방정식이 필요하다.

texas instrument slvae09b.pdf 문서 5 page

 

이 그림을 보고

${\hat i_L}[n] + (S_n + S_f){\hat d}[n]T_s = {\hat i_L}[n + 1]$

${\alpha} {\hat i_L}[n] + {\hat i_L}[n + 1] = {\frac {1 + {\alpha}} {R_i}} {\hat V_c}[n + 1]$

$where: \, {\alpha} = {\frac {S_f - S_e} {S_n + S_e}}$

를 유도할 수 있다.

 

이제 z-transform 하고 $z \rightarrow e^{{T_s}s}$ 하고 ${\frac {1 - e^{-{T_s}s}} {{T_s}s}}$ 곱하는 건 일도 아니다.

 

 

이산 파트 결과

${\frac {\hat i_L(s)} {\hat V_{comp}(s)}} = {\frac {1 + \alpha} {R_i}} {\frac {e^{{T_s}s}} {{\alpha} + e^{{T_s}s}}} {\frac {1 - e^{-{T_s}s}} {{T_s}s}}$

 

 

선형화

위의 결과만으로 충분히 시스템을 기술할 수 있지만, 선형화를 하는 과정에서 ${\frac {\hat i_L(s)} {\hat V_{comp}(s)}}$ 내부를 디테일하게 내부 루프로 묘사하고 필요한 부분을 근사화 시킴으로써 선형화를 진행할 것이다.

 

아까의 차분방정식으로 부터

근사적으로 $G_{di} = {\frac {{\hat {i_L}}(s)} {{\hat d}(s)}} = {\frac {S_n + S_f} s}$ 임을 도출할 수 있다.

(이건 open loop 식의 근사화로도 구할 수 있다.)

그리고 이건 선형적이다.

 

$F_m$과 $R_i = 센싱저항$은 상수이고 $H_e(s)$를 모르는데 ${\frac {\hat i_L(s)} {\hat V_{comp}(s)}}$ 알고 있기 때문에 

폐루프 전달함수 식을 세워서 $H_e(s)$를 도출해 낼 수 있다.

${\frac {\hat i_L(s)} {\hat V_{comp}(s)}} = {\frac {{F_m} {G_{di}}} {1 + {F_m} {G_{di}} {H_e(s)} {R_i}}}$

그렇게 도출하면 결과는 다음과 같다.

 

$H_e(s) = {\frac {{T_s}s} {e^{{T_s}s} - 1}}$

이것만 선형화 하면 모든 것이 선형적이다.

 

$H_e(s) = 1 - {\frac s {2f_{sw}}} + {\frac {s^2} {({\pi} f_{sw})^2}}$

이것은1차항 까지는 테일러 근사를 사용하고 2차항은 $\frac {f_{sw}} 2$에서 원본과 값이 일치하도록 추가한 것이다.