완전도체에 작용하는 힘 (dc 모터를 통해 알아보는)

 

 

 

 

 

https://akswnd98.tistory.com/69

전기장의 좌표계 변환

에서 언급했듯이 정지 좌표계로 부터 속도 $v$로 움직이는 좌표계에서 본 전기장은 $E^\prime = E + v \times B$이다.

 

정지 좌표계 기준에서 보면 전자기장이 전하에 해주는 일률은 $J \cdot E = J \cdot E^\prime + (J \times B) \cdot v$와 같다.

왜냐하면 $J \cdot E^\prime = J \cdot E + J \cdot (v \times B)$ -> 벡터 삼중곱 항등식 -> $J \cdot E = J \cdot E^\prime + (J \times B) \cdot v$

 

원래라면 $J$와 $v$의 방향이 같기 때문에 $(J \times B) \cdot v$은 0이다.

하지만 완전도체는 구조가 다음과 같기 때문에

 

+++++++++ 양전하

- - - - - - - - -  전자 -->       전류

+++++++++ 양전하

 

$J$와 $v$의 방향이 달라질 수 있다.

즉 전류 밀도의 이동 방향과 전류 밀도의 방향이 달라질 수 있다.

여기서 $v$는 완전도체의 속도이자, 완전도체를 정지한 것 처럼 보이게하는 좌표계의 속도이다.

이런 원리에 따라 정지 좌표계 기준으로 역학적 일이 발생하는 것으로 보인다.

특히 https://akswnd98.tistory.com/67

로렌츠 힘 제대로 알고 쓰자.

를 보면 알겠지만 $i \times B$는 분명 로렌츠 힘의 성분이므로 힘이다.

 

이를 적분형으로 나타낸다면 다음과 같다. (각각의 미소 성분에 대해 다른 좌표계 변환을 해서 적분해도 괜찮다.)

$\int_V J \cdot E ^ \prime dV = \int J \cdot dS \int E^\prime dl = i (-\frac {\partial {\lambda^\prime}} {\partial t})$

$\int_V J \cdot (E + v \times B) dV = \int J \cdot dS \int E dl + \int J \cdot dS \cdot \int v \times B dl = i (-\frac {\partial \lambda} {\partial t}) - \int (i \times B) \cdot v dl$

이 때 $\lambda$는 루프(모양)의 시변에 의한 성분이 아니므로 도체 외부 자기장의 시변에 의한 성분인데, dc 모터의 상황을 예로 들어 보면 자석이 영구자석이라 자기장이 일정하다.

따라서 $\frac {\partial \lambda} {\partial t} = 0$

 

그리고 $\int (i \times B) \cdot v dl$은 전자기장이 전류밀도에 한 역학적 일(로렌츠 힘의 일부)에 해당하므로

$i \frac {\partial {\lambda^\prime}} {\partial t} = \int (i \times B) \cdot v dl$ 만큼의 일을 하게 된다.

따라서 완전 도체에 $i \times B L$ 만큼의 힘이 작용한다. 여기서 L은 도체의 길이이다.

 

이제 많은 전기기기 책에서 생략하는 전기자에 발생하는 기전력에 전류를 곱한 값이 모터에 작용하는 역학적 일이 되는 이유를 알 수 있다!

 

전기자가 고정되어 있을 경우도 생각해 볼 수 있다.

회로 좌표계 기준과 영구자석 좌표계 기준으로 식을 전개하여 등식을 만들고,

전기자가 받는 힘을 자속의 미분으로 표현한 후 각 운동량 보존법칙에 따라 자석이 받는 힘을 구하면,

고정자 자석과 다를 게 없다.